连续自然数立法和

㈠ 求证：从一开始的n个连续自然数的立方和等于它们的和的平方。

对于任意整数i，有
（1+2+3+......+i)²
= ( (1+2+3+......+(i-1)) + i )²

= (1+2+3+......+(i-1))² + 2i(1+2+3+......+(i-1)) + i²

因为前n项和公式1+2+3+......+n=n（1+n)/2，代人，继续整理
= (1+2+3+......+(i-1))² + 2 i ( i(i-1)/2 ) + i²
= (1+2+3+......+(i-1))² + i ³
所以
（1+2+3+......+i)² - (1+2+3+......+(i-1))² = i ³
对i依次取1到n，列出各个等式，
1² - 0² =1 ³
（1+2)² - (1)² = 2 ³
（1+2+3)² - (1+2)² = 3 ³
... ... ... ...
（1+2+3+......+n)² - (1+2+3+......+(n-1))² = n ³
各个等式左右两边同时相加，相同项消去，得
（1+2+3+......+n)² - 0² = 1³+2³+3³+......+n³
即
（1+2+3+......+n)² = 1³+2³+3³+......+n³

㈡ 3个连续自然数的立方和能被9整除 用数学归纳法作

1°.
当n=1时，1³＋2³＋3³=1＋8＋27=36=9×4，显然能被9整除。
2°
假设n=k﹙k≥2﹚时，k³＋﹙k＋1﹚³＋﹙k＋2﹚³
能被9整除，设其和为9m，

那么n=k＋1时，﹙k＋1﹚³＋﹙k＋2﹚³＋﹙k＋3﹚³=[﹙k＋1﹚³＋﹙k＋2﹚³＋k³]＋3×k²×3＋3×k ×3²＋ 3³=9m＋9k²＋27k＋27=9﹙m＋k²＋3k＋3﹚，即n=k＋1时命题也成立，综上1°，2°可知，原命题对一切自然数都成立。

㈢ 哪三个连续自然数的和是立方数

设这五个数为x-2、x-1、x、x+1、x+2
5x=a方
x=5n方
3x=m的立方
3*5n方=m的立方
n方=15的平方
225*15=1125
1125是中间数
1125-2=1123
最小数为1123

㈣ 任一自然数的立方和都可以写成一串连续的奇数之和

这里的式子不好写，我叙述一下吧
如果n是奇数
那么n的平方也是基数
n的立方就等于以n的平方为中间的一个奇数，其他数分别是n的平方加2，4……或减2，4……。一共有n项相加
比如5的立方=125
中间数为5的平方25，一共有5个奇数相加
所以125=21+23+25+27+29
如果是偶数，情况和这差不多
比如4的立方为64
中间数为16，因为16为偶数，所以中间数为15，17，两个数，一共有n=4项相加，所以64=13+15+17+19

㈤ 2016是n个连续非零自然数的立方和,则这些自然数之和是多少

首先，1^3+2^3+3^3+4^3+...+n^3=(1+2+3+...+n)^2

如果这个立方和公式需要证明，请追问或自行查阅相关资料。

2016是n个连续自然数的立方和，

那么可以设

(p+1)^3+(p+2)^3+(p+3)^3+(p+4)^3+...+(p+n)^3=2016

于是，

[1^3+2^3+3^3+4^3+...+(p+n)^3]-[1^3+2^3+3^3+4^3+...+p^3]=2016

设p+n=m，

[1^3+2^3+3^3+4^3+...+m^3]-[1^3+2^3+3^3+4^3+...+p^3]=2016

从而有：

(1+2+3+...+m)^2-(1+2+3+...+p)^2=2016

平方差：

(1+2+3+...+m+1+2+3+...+p)(1+2+3+...+m-1-2-3-...-p)=2016

设1+2+3+...+m=a，1+2+3+...+p=b

于是

(a+b)(a-b)=2016

注意到，a、b均为整数，且a+b与a-b同奇同偶。

那么可将2016分解因数：

1×2016；（奇偶性不同，排除）

2×1008；此时，a=1005，b=1003；不存在1+2+3+...+p=1005、1003；排除

3×672；（奇偶性不同，排除）

4×504；此时，a=254，b=250；不存在1+2+3+...+p=254、250；排除

6×336；此时，a=171，b=165；存在1+2+3+...+18=171，但不存在1+2+3+...+p=165；排除

7×288；（奇偶性不同，排除）

8×252；此时，a=130，b=122；不存在1+2+3+...+p=133、122；排除

9×224；（奇偶性不同，排除）

12×168；此时，a=85，b=73；不存在1+2+3+...+p=85、73；排除

14×144；此时，a=79，b=64；不存在1+2+3+...+p=79、64；排除

16×126；此时，a=71，b=55；存在1+2+3+...+10=55，但不存在1+2+3+...+p=71；排除

18×112；此时，a=65，b=47；不存在1+2+3+...+p=65、47；排除

21×96；（奇偶性不同，排除）

24×84；此时，a=54，b=30；不存在1+2+3+...+p=54、30；排除

28×72；此时，a=50，b=22；不存在1+2+3+...+p=50、22；排除

32×63；（奇偶性不同，排除）

36×56；此时，a=46，b=10；存在1+2+3+4=10，但不存在1+2+3+...+p=46；排除

42×48；此时，a=45，b=3；【1+2+...+9=45且1+2=3】

因而，此时，p=3，m+p=9

于是，4^3+5^3+6^3+7^3+8^3+9^3=2016

从而，4+5+6+7+8+9=a-b=42

【经济数学团队为你解答！】

㈥ 阅读理解题 （1）我们把从1开始至n的n个连续自然数立方和记作Sn，那么有：

由S1=1³=1²=[1*(1+1)/2]^2;
S2=1³+2³=(1+2)²=[2*(1+2)/2]²
S3=1³+2³+3³=(1+2+3)²=[3*(1+3)/2]²
……
①猜想出Sn=（1³+2³+。。。+n³=（1+2+。。。+n）²=[（1+n）×n/2] ² ）（用n表示）；
②依规律，直接给出1^3+2^3+3^3+…+10^3的值=（ 55²=3025 ）
③依规律，求2^3+4^3+6^3+…+20^3的值：
2³+4³+。。。+10³+。。。+20³
=（1×2）³+（2×2）³+。。。+（5×2）³+。。。+（10×2）³
=2³（1³+2³+3³+4³+5³+。。。+10³）
=8×（1+2+3+4+5+。。。10)²
=8×55²
=24200.
④依规律，求11^3+13^3+13^3+…+40^3的值 (规律有问题）
（2）①若│x│=0，则x=（0）；
②若│x-1│=2，则x=（3或者-1 ）
；
③│x-2│=-2，则x=（无解，因为绝对值不可能为负）；
④若关于x的绝对值方程│m-│x+1││=3恰好只有两个不同的解，则字母m的取值范围是（）
设m-|x+1|=3，|x+1|=m-3＞0，
∴m＞3.
设m-|x+1|=-3 ，,|x+1|=m+3＞0
∴m＞-3.取m＞-3.

㈦ 有五个连续自然数的立方和是440这五个数分别是多少

102、103、104、105
四个连续自然数的和有这样一个特点，10、14、18、22……相差4，想让它能被9整除，18是个例子，54 = 18 + 4 ×9也是，90 = 54 + 4 × 9也是，即形于18+36n的数才有可能是四个连续自然数的和，400到440之间只有414.4个数也就求出来了。

㈧ 如何证明任意三个连续自然数的立方和为9的倍数

设它们是x-1,x,x+1
立方和为
(x-1)^3+x^3+(x+1)^3
=(x^3-3x^2+3x-1)+x^3+(x^3+3x^2+3x+1)
=3x^3+6x
=3x(x^2+2)
（x^2表示x的平方，x^3表示x的立方）
这首先一定是3的倍数，只要看x，x有三种情况：
①x就是3的倍数，那么3x就是9的倍数，那么3x(x^2+2)（立方和）就是9的倍数
②x是3的倍数多1，设x=3k+1（k为整数）
3x(x^2+2)
=3(3k+1)[(3k+1)^2+2]
=3(3k+1)(9k^2+6k+1+2)
=3(3k+1)3(3k^2+2k+1)
=9(3k+1)(3k^2+2k+1)
是9的倍数
③x是3的倍数多2，设x=3k+2（k为整数）
3x(x^2+2)
=3(3k+2)[(3k+2)^2+2]
=3(3k+2)(9k^2+12k+4+2)
=3(3k+1)3(3k^2+4k+2)
=9(3k+1)(3k^2+4k+2)
是9的倍数

㈨ 怎样求连续的自然数的立方和

从1的3次方开始加,加到n的3次方的和S

S=[n(1+n)/2]^2

^2表示平方,你自己验算一下,对的