积商法

❶ 数列求通项式

公式法、累加法、累乘法、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法、不动点法、特征根的方法等等。

类型一
归纳—猜想—证明
由数列的递推公式可写出数列的前几项，再由前几项总结出规律，猜想出数列的一个通项公式，最后用数学归纳法证明．

类型二
“逐差法”和“积商法”
(1)当数列的递推公式可以化为an+1-an=f(n)时，取n=1,2,3,…,n-1，得n-1个式子：
a2-a1=f(1),a3-a2=f(2),…,an-an-1=f(n-1)，
且f(1)+f(2)+…+f(n-1)可求得时，两边累加得通项an，此法称为“逐差法”．
(2)当数列的递推公式可以化为an+1/an=f(n)时，令n=1,2,3,…,n-1,得n-1个式子，即
a2/a1=f(1),a3/a2=f(2),a4/a3=f(3),…,an/an-1=f(n－1)，且f(1)f(2)f(3)…f(n-1)可求得时，两边连乘可求出an，此法称为“积商法”．

类型三
构造法
递推式是pan=qan-1+f(n)(p、q是不为零的常数)，可用待定系数法构造一个新的等比数列求解．

类型四
可转化为类型三求通项
(1)“对数法”转化为类型三．
递推式为an+1=qan

❷ 一个西瓜切三刀，切成7块，吃完西瓜8块皮，怎么切

第一刀和第二刀要交叉切，把西瓜切成四块。关键是第三刀。一定要跨第一刀和内第二刀。这样切成的容西瓜是七块，其中三刀中间的那一块上下都有瓜皮，所以是七块瓜，八块皮。

递推公式：An－An-1 =n

通项公式：An＝(n^2-n+4)/2

其中，n是刀数，An是切n刀的块数

(2)积商法扩展阅读

(1)当数列的递推公式可以化为an+1-an=f(n)时，取n=1,2,3,…,n-1，得n-1个式子：

a2-a1=f(1),a3-a2=f(2),…,an-an-1=f(n-1)，

且f(1)+f(2)+…+f(n-1)可求得时，两边累加得通项an，此法称为“逐差法”．

(2)当数列的递推公式可以化为an+1/an=f(n)时，令n=1,2,3,…,n-1,得n-1个式子，即

a2/a1=f(1),a3/a2=f(2),a4/a3=f(3),…,an/an-1=f(n－1)，且f(1)f(2)f(3)…f(n-1)可求得时，两边连乘可求出an，此法称为“积商法”．

❸ 0.5，1，2，5，17，107 （ ) 它的递推式是An-1*(An+1)+An=An+1,(n=1,2,3.....)我想知道递推是怎么算出来的

公式法，累积法，乘法累待定系数法，对数变换方法，迭代法，数学归纳法，通过替代，不动点方法，该方法的特征根。

类型一
归纳 - 猜想 - 证明
？通过一系列的递推公式可写的前几个系列，然后总结出来的前几个法律猜数列的通项公式，最后用数学归纳法证明。
？
II型？
法“和”商法典“情节
？（1）当列的递推公式的数目可以减少到一个+1- =（n）时，采取中，n = 1,2,3，...，n-1的n-1个表达式：
？A2-A1 =（1），A3-a2的=（2），...，-1 =（n-1个），
？和F（1）+（2）+ ... +（n-1个），可以得到两侧积累的此方法的方法调用的总称。
？？（2）当的递推公式的列数的1 /（N），从而，?= 1,2,3，...，n-1个，n-1的个方程，即
？A2/A1 =（1），A3/A2 =（2），A4/A3 =（3），...，an/an-1 =（n-1个），和f（1 ）F（2）F（3）... F（n-1个），可以得到的乘法的两侧上可以得到的，这种方法被称为“综合商业法。
？
？
？
III型？
构造函数方法
？的递推公式就是泛= QAN的1 + F（N）（P，Q是一个非零的常数），可用待定系数法来构造一个新的等比数列问题。
？
IV型？
可以被转换为III型寻求通用术语
（1）“对数法”为III型。？
？递推公式，在An +1 = QAN?（q>的0，K≠0和k≠1，α1> 0），双方采取的常用对数，得到lgan +1 = klgan + LGQ的ORDER lgan = BN，然后十亿+1 = KBN + LGQ，转换为III型。
？
？（2）“倒计时法转换成键入三个。
？的递推公式的形式：供应商在An +1 =（PAN + b的）/（QAN + c的）（≠0 PQ≠0时，PC≠QB）。
？如果b = 0，得到的1 =摇摄/（QAN + c的）。因为≠0，对双方的倒数获得1/an +1 = Q / P + C / PAN令BN = 1/an，亿+1 =（C / P）BN + Q / P，转化到III型。
？如果b≠0时，1 + X = Y（+）/ QAN + C相比，与公知的递推公式，得到由x，y，令BN = +的x，BN 1 = YBN / QAN + c的，被变换的b = 0的情况下。
？
？
类型五
递推公式+1 / QN / N = +-K（Q≠0，K∈N）
？1可以是第一个方程（+ K）一个= QNAN双方乘以相同的第（n + k-1个）（n + k个-2）...第（n +1），得到（+ K）（n + k个-1）（n + k个-2）...第（n +1）+1 = q（下n + k个-1）（n + k个-2）... （N +1）男，订单BN =（N + K-1）（N + K-2）... （n +1）的吗？男，然后十亿+1 =（N + K）（N + K-1）（N + K-2）...第（n +1）1。
？所以，BN +1 = QBN，所以序列{亿}是公比q和B1 = K（K-1）（K-2）的第一项... 2？ 1？ A1 = K！ A1等比数列，从而可以得到一个。
？
总之，通过一系列的递推公式和通项公式是更复杂的，不可能解决，但只要我们抓住递推数列递推关系，分析的结构特点，善于合理变形，将能够？找到一个解决办法的问题的有效途径。

A型总结 - 猜想 - 证明
？通过一系列的递推公式可写的前几个系列，然后总结出来的前几个法律猜数列的通项公式，最后用数学归纳法证明。
情况下，组序列{}是正项级数的，和（N +1）A2N +1-楠+一个+1 = 0（N = 1,2,3，...），那么它的通项公式= ______________。 （2000年全国数学卷15题）
A2N +1-楠？解决方案：（N +1）+ +1组（n = 1,2,3，...）= 0分解因式（1 +）[（N +1 ）+1男] = 0。
> 0，所以（N +1）+1 =男，+1 = N /（N +1）。
因此，A2 = A1 =（1/2）（1/2）和a3 =（2/3）α2=（1/3），....猜猜=（1 / N），用数学归纳法，证明过程略。
？

2型“的方法”和“积商法典”
？（1）当列的递推公式的数目可以减少到一个+1- =（n）时，采取中，n = 1,2,3，...，n-1的n-1个表达式：
？A2-A1 =（1），A3-a2的=（2），...，-1 =（n-1个），
？和F（1）+（2）+ ... +（n-1个），可以得到两侧积累的此方法的方法调用的总称。
？例2数据列{}满足a1 = 1，= 3N-1-1（N≥2），证明：（3N-1）/ 2。
（2003年全国艺术在数学卷19题）
？证明：从已知的一个-1 =为3n-1，
？=（--1）+（-1-2）+ ... +（A2-A1）+ A1 = 3N-1 +3N-2+ ... 3 1 =为3n-1/2。
？所以证明。
？（2）当的递推公式的列数的1 / =（N），从而使中，n = 1,2,3，...，n-1个，n-1个方程，即
？A2/A1 =（1），A3/A2 =（2），A4/A3 =（3），...，一个?/-1=（正 - 1） 和f（1）F（2）F（3）两侧的乘法时，可制得一，F（n-1个），可以得到，这种方法被称为“情节商业。
？例3（例1相同）（2000年全国数学第15卷。）
？另一种解决方案：（N +1）A2N +1-楠+一+1 = 0（= 1，2，3，...）简化为（N +1）+1 =男，
？+1 / = N /（N +1）。 
？因此，an/an-1？ an-1/an-2？ an-2/an-3？ ... ？ A2/A1= N-1 / N？ n-2/n-1？ N-3 / N-2？ ... ？ 1/2= 1 / N。
？

类型三结构方法
？的递推公式就是泛= QAN的1 + F（N）（P，Q是一个非零的常数），可用待定系数法来构造一个新的等比数列问题。
？例4（例2）（2003年全国艺术数学第19卷。）
？另一种解决方案：= 3N-1 + 1 3？ an/3n an-1/3n-1 +1。
？订单BN = an/3n
？十亿= 1/3bn-1 +1 / 3。 （*）
告诉BN + X = 1/3（BN-1 + x）的，则BN = 1/3bn-1 1/3倍的x，（*）相比，得到= -1 / 2，所以亿-1/2 = 1/3（十亿-1-1/2）。因此序列{亿-1/2}的b1-1 = a1的/ 3 = -1 / 6，1/3的几何级数的公比中，Bn-1/2的第一项= -1 / 6？ （1/3）正1，即an/3n-1/2 = -1 / 6（1/3）n-1个。因此，= 3N [1/2-1/6（1/3）的N-1] =为3n-1/2，
？例5序列{}中，a1 = 1，一个+1 = 4AN的+3 N +1，寻求一个。 
？解决方案：让一个1 +（n +1）的x + y的= 4（+为nx + y）的，然后
？+1 = 4AN 3为nx 3 YX，相比于已知的1 4AN 3 = n +1的给
？
3倍= 3，所以
x = 1时，
1612-x = 1时，为y =（2/3）。
因此，数列{AN + N +（2/3）}是第一至A1 +1 +（2/3）=（8/3），一个共同的比率为4几何号码栏，因此，+ N + （2/3）=（8/3）？ 4n的1，即
？=（8/3）？ 4n的1 - 正 - （2/3）。
？另一种解决方案：n≥2时，由公知的是正确4AN-1 = 3（n-1个）1，用于差分与公知的关系，和一个+1 = 4（-的1）3，即+1 +1 = 4（--1 1），序列{+1的1}是第一A2-A1 +1 = 8-1 + 1 = 8，公比为4的等比数列，然后经由=（8/3）得到的方法，可以使用？ 4n的1 - 正 - （2/3）。
？

类型四可以转化为
？类型III要求的总称
？（1）“转化为对数律
？III型。
？递推公式，在An +1 = QAN?（q>的0，K≠0和k≠1，α1> 0），双方采取的常用对数，得到lgan +1 = klgan + LGQ的ORDER lgan = BN，然后十亿+1 = KBN + LGQ，转化为
？III型。
实施例6？已知数量的列{}中，a1 = 2，一个1 = AN2寻求。
？解决方案：，一个+1 = AN2> 0时，双方数lgan +1 = 2lgan。因此在BN = lgan亿+1 = 20亿美元。序列{亿} B1 = lga1 = LG2，公比的等比数列，BN = 2N-1lg2 = lg22n-1 = 22N-1。
？（2）到“互惠法”
？III型。
？的递推公式的形式：供应商在An +1 =（PAN + b的）/（QAN + c的）（≠0 PQ≠0时，PC≠QB）。
？如果b = 0，得到的1 =摇摄/（QAN + c的）。因为≠0，所以双方采取相应获得1/an +1 = Q / P + C / PAN，BN = 1/an，BN +1 =（C / P）BN + Q / P，转化为
？III型。
？如果b≠0时，1 + X = Y（+）/ QAN + C相比，与公知的递推公式，得到由x，y，令BN = +的x，BN 1 = YBN / QAN + c的，被变换的b = 0的情况下。
？已知序列{an}的实施例7中的A1 = 2，1 =（3AN 1）/（3）实现的。
？解决方案：让一个1 + x = y时（AN +）/ 3，然后在An +1 =（YX）+（γ-3）X / 3，在结合已知得到的递推公式
？
Y-X = 3，所以
x = 1时，
γ-3 = 1时，y = 4，
有+1 +1 = 4（1）/ 3，BN = AN +1，BN 1 = 4bn/bn 2倒数已获得1/bn 1 = 1/2吗？ 1/bn 1/4，即1/bn +1-1/2 = 1/2（1/bn-1/2）。
？系列{1/bn-1/2}首先1/b1-1/2 = 1/a1 +1-1/2 = -1 / 6，与一个共同的比为1/2的等比数列。
？，因此1/bn-1/2 =（-1 / 6）（1/2）n-1个，可以得到AN。
？

类型五递推公式+1 / QN / N = +-K（Q≠0，K∈N）
？1可以是第一个方程（+ K）一个= QNAN双方乘以相同的第（n + k-1个）（n + k个-2）...第（n +1），得到（+ K）（n + k个-1）（n + k个-2）...第（n +1）+1 = q（下n + k个-1）（n + k个-2）... （N +1）男，订单BN =（N + K-1）（N + K-2）... （n +1）的吗？男，然后十亿+1 =（N + K）（N + K-1）（N + K-2）...第（n +1）1。
？所以，BN +1 = QBN，所以序列{亿}是公比q和B1 = K（K-1）（K-2）的第一项... 2？ 1？ A1 = K！ A1等比数列，从而可以得到一个。
？例8（例1相同）（2000年全国数学第15卷。）
？另一种解决方案：A2N +1- na2n（N +1）+一+1 = 0（N = 1，2，3，...），简化为（N +1）+1 =男，南亿亿+1 = BN，所以序列{亿}是一个常数列，B1 = 1？ A1 = 1，BN = 1，即男= 1，并且因此，= 1 / n的。
总之，通过一系列的递推公式和通项公式是更复杂的，不可能解决，但只要我们抓住递推数列递推关系，分析的结构特点，善于合理变形，将能够？找到一个解决办法的问题的有效途径。

❹ 急求数列中 累差求和、累商求积、错位相减等求和方法

公式法、累加法、累乘法、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法、不动点法、特征根的方法等等。

类型一
归纳—猜想—证明
由数列的递推公式可写出数列的前几项，再由前几项总结出规律，猜想出数列的一个通项公式，最后用数学归纳法证明．

类型二
“逐差法”和“积商法”
(1)当数列的递推公式可以化为an+1-an=f(n)时，取n=1,2,3,…,n-1，得n-1个式子：
a2-a1=f(1),a3-a2=f(2),…,an-an-1=f(n-1)，
且f(1)+f(2)+…+f(n-1)可求得时，两边累加得通项an，此法称为“逐差法”．
(2)当数列的递推公式可以化为an+1/an=f(n)时，令n=1,2,3,…,n-1,得n-1个式子，即
a2/a1=f(1),a3/a2=f(2),a4/a3=f(3),…,an/an-1=f(n－1)，且f(1)f(2)f(3)…f(n-1)可求得时，两边连乘可求出an，此法称为“积商法”．

类型三
构造法
递推式是pan=qan-1+f(n)(p、q是不为零的常数)，可用待定系数法构造一个新的等比数列求解．

类型四
可转化为类型三求通项
(1)“对数法”转化为类型三．
递推式为an+1=qan

❺ 递推公式，数学

公式法、累加法、累乘法、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法、不动点法、特征根的方法等等。

类型一

归纳—猜想—证明

由数列的递推公式可写出数列的前几项，再由前几项总结出规律，猜想出数列的一个通项公式，最后用数学归纳法证明。

类型二

“逐差法”和“积商法”

1、当数列的递推公式可以化为an+1-an=f(n)时，取n=1,2,3,…,n-1，得n-1个式子：

a2-a1=f(1),a3-a2=f(2),…,an-an-1=f(n-1)；

且f(1)+f(2)+…+f(n-1)可求得时，两边累加得通项an，此法称为“逐差法”。

2、当数列的递推公式可以化为an+1/an=f(n)时，令n=1,2,3,…,n-1,得n-1个式子，即

a2/a1=f(1),a3/a2=f(2),a4/a3=f(3),…,an/an-1=f(n－1)，且f(1)f(2)f(3)…f(n-1)可求得时，两边连乘可求出an，此法称为“积商法”。

(5)积商法扩展阅读

类型三

构造法

递推式是pan=qan-1+f(n)(p、q是不为零的常数)，可用待定系数法构造一个新的等比数列求解。

类型四

可转化为类型三求通项

1、“对数法”转化为类型三。

递推式为an+1=qank(q＞0,k≠0且k≠1,a1＞0)，两边取常用对数，得lgan+1=klgan+lgq，令lgan=bn，则有bn+1=kbn+lgq，转化为类型三。

2、“倒数法”转化为类型三。

递推式为商的形式：an+1=(pan+b)/(qan+c)(an≠0，pq≠0,pc≠qb)。

若b=0，得an+1=pan/(qan+c)．因为an≠0，所以两边取倒数得1/an+1=q/p+c/pan,令bn=1/an,则bn+1=(c/p)bn+q/p，转化为类型三。

若b≠0，设an+1+x=y(an+x)/qan+c，与已知递推式比较求得x、y，令bn=an+x，得bn+1=ybn/qan+c，转化为b=0的情况。

❻ 高一所有的等差 等比数列的通项公式

公式法、累加法、累乘法、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法、不动点法、特征根的方法等等。类型一归纳—猜想—证明由数列的递推公式可写出数列的前几项，再由前几项总结出规律，猜想出数列的一个通项公式，最后用数学归纳法证明．类型二“逐差法”和“积商法”(1)当数列的递推公式可以化为an+1-an=f(n)时，取n=1,2,3,…,n-1，得n-1个式子：a2-a1=f(1),a3-a2=f(2),…,an-an-1=f(n-1)，且f(1)+f(2)+…+f(n-1)可求得时，两边累加得通项an，此法称为“逐差法”．(2)当数列的递推公式可以化为an+1/an=f(n)时，令n=1,2,3,…,n-1,得n-1个式子，即a2/a1=f(1),a3/a2=f(2),a4/a3=f(3),…,an/an-1=f(n－1)，且f(1)f(2)f(3)…f(n-1)可求得时，两边连乘可求出an，此法称为“积商法”．类型三构造法递推式是pan=qan-1+f(n)(p、q是不为零的常数)，可用待定系数法构造一个新的等比数列求解．类型四可转化为类型三求通项(1)“对数法”转化为类型三．递推式为an+1=qan?k(q＞0,k≠0且k≠1,a1＞0)，两边取常用对数，得lgan+1=klgan+lgq，令lgan=bn，则有bn+1=kbn+lgq，转化为类型三．(2)“倒数法”转化为类型三．递推式为商的形式：an+1=(pan+b)/(qan+c)(an≠0，pq≠0,pc≠qb)．若b=0，得an+1=pan/(qan+c)．因为an≠0，所以两边取倒数得1/an+1=q/p+c/pan,令bn=1/an,则bn+1=(c/p)bn+q/p，转化为类型三．若b≠0，设an+1+x=y(an+x)/qan+c，与已知递推式比较求得x、y，令bn=an+x，得bn+1=ybn/qan+c，转化为b=0的情况．类型五递推式为an+1/an=qn/n+k(q≠0,k∈N)可先将等式(n+k)an+1=qnan两边同乘以(n+k-1)(n+k-2)…(n+1)，得(n+k)(n+k-1)(n+k-2)…(n+1)an+1=q(n+k-1)(n+k-2)…(n+1)nan，令bn=(n+k-1)(n+k-2)…(n+1)??nan,则bn+1=(n+k)(n+k-1)(n+k-2)…(n+1)an+1．从而bn+1=qbn，因此数列｛bn｝是公比为q，首项为b1=k(k-1)(k-2)…2??1??a1=k!a1的等比数列，进而可求得an．总之，由数列的递推公式求通项公式的问题比较复杂，不可能一一论及，但只要我们抓住递推数列的递推关系，分析结构特征，善于合理变形，就能找到解决问题的有效途径．类型一?归纳—猜想—证明由数列的递推公式可写出数列的前几项，再由前几项总结出规律，猜想出数列的一个通项公式，最后用数学归纳法证明．?例1?设数列｛an｝是首项为1的正项数列，且(n+1)a2n+1-nan2+an+1an=0(n=1,2,3,…)，则它的通项公式是an=______________．(2000年全国数学卷第15题)解：将(n+1)a2n+1-nan2+an+1an=0(n=1,2,3,…)分解因式得(an+1+an)〔(n+1)an+1-nan〕=0．??由于an＞0，故(n+1)an+1=nan，即an+1=n/(n+1)an．??因此a2=(1/2)a1=(1/2)，a3=(2/3)a2=(1/3),…．猜想an=(1/n),可由数学归纳法证明之，证明过程略．类型二?“逐差法”和“积商法”(1)当数列的递推公式可以化为an+1-an=f(n)时，取n=1,2,3,…,n-1，得n-1个式子：a2-a1=f(1),a3-a2=f(2),…,an-an-1=f(n-1)，且f(1)+f(2)+…+f(n-1)可求得时，两边累加得通项an，此法称为“逐差法”．例2?已知数列｛an｝满足a1=1,an=3n-1+an-1(n≥2),证明：an=(3n-1)/2．(2003年全国数学卷文科第19题)证明：由已知得an-an-1=3n-1，故an=(an-an-1)+(an-1－an-2)+…+(a2-a1)+a1=3n-1+3??n-2?+…+3+1=3n-1/2．所以得证．(2)当数列的递推公式可以化为an+1/an=f(n)时，令n=1,2,3,…,n-1,得n-1个式子，即a2/a1=f(1),a3/a2=f(2),a4/a3=f(3),…,a??n?/an-1?=f(n－1)?，?且f(1)f(2)f(3)…f(n-1)可求得时，两边连乘可求出an，此法称为“积商法”．例3?(同例1)(2000年全国数学卷第15题)另解：将(n+1)a2n+1-nan2＋an+1an=0(n?=1,2,3,…)化简，得(n+1)an+1=nan，即an+1/an=n/(n+1)．?故an=an/an-1??an-1/an-2??an-2/an-3??…??a2/a1?=n-1/n??n-2/n-1??n-3/n-2??…??1/2?=1/n．类型三?构造法递推式是pan=qan-1+f(n)(p、q是不为零的常数)，可用待定系数法构造一个新的等比数列求解．例4?(同例2)(2003年全国数学卷文科第19题)另解：由an=3n-1+an-1得3??an/3n=an-1/3n-1+1．令bn＝an/3n，则有bn=1/3bn-1+1/3．(*)设bn+x=1/3(bn-1+x)，则bn=1/3bn-1+1/3x-x，与(*)式比较，得x=-1/2，所以bn-1/2=1/3(bn-1-1/2)．因此数列｛bn-1/2｝是首项为b1-1=a1/3=-1/6，公比为1/3的等比数列，所以bn-1/2=-1/6??(1/3)n-1，即an/3n-1/2=-1/6(1/3)n-1．故an=3n〔1/2-1/6(1/3)n-1〕=3n-1/2．例5?数列｛an｝中，a1=1,an+1=4an+3n+1，求an．?解：令an+1+(n+1)x+y=4(an+nx+y)，则an+1=4an+3nx+3y-x,与已知an+1=4an+3n+1比较，得3x=3，所以x=1,3y-x=1，y=(2/3)．故数列｛an+n+(2/3)｝是首项为a1+1+(2/3)=(8/3)，公比为4的等比数列，因此an+n+(2/3)=(8/3)??4n-1,即an=(8/3)??4n-1-n-(2/3)．另解：由已知可得当n≥2时，an=4an-1+3(n-1)+1，与已知关系式作差，有an+1-an=4(an-an-1)+3，即an+1-an+1=4(an-an-1+1)，因此数列｛an+1-an+1｝是首项为a2-a1+1=8-1+1=8，公比为4的等比数列，然后可用“逐差法”求得其通项an=(8/3)??4n-1-n-(2/3)．类型四?可转化为类型三求通项(1)“对数法”转化为类型三．递推式为an+1=qan?k(q＞0,k≠0且k≠1,a1＞0)，两边取常用对数，得lgan+1=klgan+lgq，令lgan=bn，则有bn+1=kbn+lgq，转化为类型三．例6?已知数列｛an｝中，a1=2,an+1=an2，求an．解：由an+1=an2＞0，两边取对数得lgan+1=2lgan．令bn=lgan则bn+1=2bn．因此数列｛bn｝是首项为b1=lga1=lg2，公比为2的等比数列，故bn=2n-1lg2=lg22n-1，即an=22n-1．(2)“倒数法”转化为类型三．递推式为商的形式：an+1=(pan+b)/(qan+c)(an≠0，pq≠0,pc≠qb)．若b=0，得an+1=pan/(qan+c)．因为an≠0，所以两边取倒数得1/an+1=q/p+c/pan,令bn=1/an,则bn+1=(c/p)bn+q/p，转化为类型三．若b≠0，设an+1+x=y(an+x)/qan+c，与已知递推式比较求得x、y，令bn=an+x，得bn+1=ybn/qan+c，转化为b=0的情况．例7?在数列｛an｝中，已知a1=2,an+1=(3an+1)/(an+3)，求通项an．解：设an+1+x=y(an+x)/an+3，则an+1=(y-x)an+(y-3)x/an+3，结合已知递推式得y-x=3,所以x=1,y-3=1，y=4，则有an+1+1=4(an+1)/an+3，令bn=an+1，则bn+1=4bn/bn+2，求倒数得1/bn+1=1/2??1/bn+1/4，即1/bn+1-1/2=1/2(1/bn-1/2)．因此数列｛1/bn-1/2｝是首项为1/b1-1/2=1/a1+1-1/2=-1/6，公比为1/2的等比数列．故1/bn-1/2=(-1/6)(1/2)n-1，从而可求得an．数列的递推式求数列的通项公式1、形如an+1=pan+q的递推式：当p=1时数列为等差数列；当q=0,p≠0时数列为等比数列；当p≠1,p≠0,q≠0时，令an+1－t=p(an－t),整理得an+1=pan+(1－p)t,由an+1=pan+q，有(1－p)t=q∴t=q/(1－p),从而an+1－q/(1－p)=p〔an－q/(1－p)〕,∴数列﹛an－q/(1－p)﹜是首项为a1－q/(1－p)，公比为q的等比数列。故an=〔a1－q/(1－p)〕pn－1+q/(1－p)2、形如an+1=pan+f(n)的递推式：将上式两边同除以pn+1,得an+1/pn+1=an/pn+f(n)/pn+1,令bn=an/pn,则bn+1=bn+f(n)/pn+1，由此可求出bn，从而求出an3、形如an+1=pan+qan－1（n≥2）的递推式：1°若p+q=1时，p=1－q,则an+1=(1－q)an+qan－1,即an+1－an=(an－an－1)(-q)，知﹛an－an－1﹜为等比数列，公比为-q，首项为a2－a1，从而an+1－an=(a2－a1)(-q)n－1，用叠加法就可求出an2°若p+q≠1时，存在x1、x2满足an+1－x1an=x2(an－x1an－1)，整理得an+1=（x1+x2）an+x1x2an－1，有x1+x2=p，-x1x2=q，把x1、x2看做一元二次方程x2－px－q=0的两个根，容易求出x1、x2，从而数列﹛an+1－x1an﹜是等比数列，可得an+1－x1an=x2n－1(a2－x1a1)①或an+1－x2an=x1n－1(an－x1an－1)②，当x1≠x2时，由①②联立可解得an；当x1=x2时，转化成以上类型的递推式，可求出an

❼ 递推公式的函数定义是什么

f(x)=f(f(x-1))=f(f(f(x-2)))=记为f^n(1),其实理解一下，就是函数的迭代，比如f(x)=X^2 f(f(x))=x^4

❽ 求数列前N项和的方法有哪些要例子！

公式法、累加法、累乘法、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法、不动点法、特征根的方法等等。

类型一
归纳—猜想—证明
由数列的递推公式可写出数列的前几项，再由前几项总结出规律，猜想出数列的一个通项公式，最后用数学归纳法证明．

类型二
“逐差法”和“积商法”
(1)当数列的递推公式可以化为an+1-an=f(n)时，取n=1,2,3,…,n-1，得n-1个式子：
a2-a1=f(1),a3-a2=f(2),…,an-an-1=f(n-1)，
且f(1)+f(2)+…+f(n-1)可求得时，两边累加得通项an，此法称为“逐差法”．
(2)当数列的递推公式可以化为an+1/an=f(n)时，令n=1,2,3,…,n-1,得n-1个式子，即
a2/a1=f(1),a3/a2=f(2),a4/a3=f(3),…,an/an-1=f(n－1)，且f(1)f(2)f(3)…f(n-1)可求得时，两边连乘可求出an，此法称为“积商法”．

类型三
构造法
递推式是pan=qan-1+f(n)(p、q是不为零的常数)，可用待定系数法构造一个新的等比数列求解．

类型四
可转化为类型三求通项
(1)“对数法”转化为类型三．
递推式为an+1=qan