積商法

❶ 數列求通項式

公式法、累加法、累乘法、待定系數法、對數變換法、迭代法、數學歸納法、換元法、不動點法、特徵根的方法等等。

類型一
歸納—猜想—證明
由數列的遞推公式可寫出數列的前幾項，再由前幾項總結出規律，猜想出數列的一個通項公式，最後用數學歸納法證明．

類型二
「逐差法」和「積商法」
(1)當數列的遞推公式可以化為an+1-an=f(n)時，取n=1,2,3,…,n-1，得n-1個式子：
a2-a1=f(1),a3-a2=f(2),…,an-an-1=f(n-1)，
且f(1)+f(2)+…+f(n-1)可求得時，兩邊累加得通項an，此法稱為「逐差法」．
(2)當數列的遞推公式可以化為an+1/an=f(n)時，令n=1,2,3,…,n-1,得n-1個式子，即
a2/a1=f(1),a3/a2=f(2),a4/a3=f(3),…,an/an-1=f(n－1)，且f(1)f(2)f(3)…f(n-1)可求得時，兩邊連乘可求出an，此法稱為「積商法」．

類型三
構造法
遞推式是pan=qan-1+f(n)(p、q是不為零的常數)，可用待定系數法構造一個新的等比數列求解．

類型四
可轉化為類型三求通項
(1)「對數法」轉化為類型三．
遞推式為an+1=qan

❷ 一個西瓜切三刀，切成7塊，吃完西瓜8塊皮，怎麼切

第一刀和第二刀要交叉切，把西瓜切成四塊。關鍵是第三刀。一定要跨第一刀和內第二刀。這樣切成的容西瓜是七塊，其中三刀中間的那一塊上下都有瓜皮，所以是七塊瓜，八塊皮。

遞推公式：An－An-1 =n

通項公式：An＝(n^2-n+4)/2

其中，n是刀數，An是切n刀的塊數

(2)積商法擴展閱讀

(1)當數列的遞推公式可以化為an+1-an=f(n)時，取n=1,2,3,…,n-1，得n-1個式子：

a2-a1=f(1),a3-a2=f(2),…,an-an-1=f(n-1)，

且f(1)+f(2)+…+f(n-1)可求得時，兩邊累加得通項an，此法稱為「逐差法」．

(2)當數列的遞推公式可以化為an+1/an=f(n)時，令n=1,2,3,…,n-1,得n-1個式子，即

a2/a1=f(1),a3/a2=f(2),a4/a3=f(3),…,an/an-1=f(n－1)，且f(1)f(2)f(3)…f(n-1)可求得時，兩邊連乘可求出an，此法稱為「積商法」．

❸ 0.5，1，2，5，17，107 （ ) 它的遞推式是An-1*(An+1)+An=An+1,(n=1,2,3.....)我想知道遞推是怎麼算出來的

公式法，累積法，乘法累待定系數法，對數變換方法，迭代法，數學歸納法，通過替代，不動點方法，該方法的特徵根。

類型一
歸納 - 猜想 - 證明
？通過一系列的遞推公式可寫的前幾個系列，然後總結出來的前幾個法律猜數列的通項公式，最後用數學歸納法證明。
？
II型？
法「和」商法典「情節
？（1）當列的遞推公式的數目可以減少到一個+1- =（n）時，採取中，n = 1,2,3，...，n-1的n-1個表達式：
？A2-A1 =（1），A3-a2的=（2），...，-1 =（n-1個），
？和F（1）+（2）+ ... +（n-1個），可以得到兩側積累的此方法的方法調用的總稱。
？？（2）當的遞推公式的列數的1 /（N），從而，?= 1,2,3，...，n-1個，n-1的個方程，即
？A2/A1 =（1），A3/A2 =（2），A4/A3 =（3），...，an/an-1 =（n-1個），和f（1 ）F（2）F（3）... F（n-1個），可以得到的乘法的兩側上可以得到的，這種方法被稱為「綜合商業法。
？
？
？
III型？
構造函數方法
？的遞推公式就是泛= QAN的1 + F（N）（P，Q是一個非零的常數），可用待定系數法來構造一個新的等比數列問題。
？
IV型？
可以被轉換為III型尋求通用術語
（1）「對數法」為III型。？
？遞推公式，在An +1 = QAN?（q>的0，K≠0和k≠1，α1> 0），雙方採取的常用對數，得到lgan +1 = klgan + LGQ的ORDER lgan = BN，然後十億+1 = KBN + LGQ，轉換為III型。
？
？（2）「倒計時法轉換成鍵入三個。
？的遞推公式的形式：供應商在An +1 =（PAN + b的）/（QAN + c的）（≠0 PQ≠0時，PC≠QB）。
？如果b = 0，得到的1 =搖攝/（QAN + c的）。因為≠0，對雙方的倒數獲得1/an +1 = Q / P + C / PAN令BN = 1/an，億+1 =（C / P）BN + Q / P，轉化到III型。
？如果b≠0時，1 + X = Y（+）/ QAN + C相比，與公知的遞推公式，得到由x，y，令BN = +的x，BN 1 = YBN / QAN + c的，被變換的b = 0的情況下。
？
？
類型五
遞推公式+1 / QN / N = +-K（Q≠0，K∈N）
？1可以是第一個方程（+ K）一個= QNAN雙方乘以相同的第（n + k-1個）（n + k個-2）...第（n +1），得到（+ K）（n + k個-1）（n + k個-2）...第（n +1）+1 = q（下n + k個-1）（n + k個-2）... （N +1）男，訂單BN =（N + K-1）（N + K-2）... （n +1）的嗎？男，然後十億+1 =（N + K）（N + K-1）（N + K-2）...第（n +1）1。
？所以，BN +1 = QBN，所以序列{億}是公比q和B1 = K（K-1）（K-2）的第一項... 2？ 1？ A1 = K！ A1等比數列，從而可以得到一個。
？
總之，通過一系列的遞推公式和通項公式是更復雜的，不可能解決，但只要我們抓住遞推數列遞推關系，分析的結構特點，善於合理變形，將能夠？找到一個解決辦法的問題的有效途徑。

A型總結 - 猜想 - 證明
？通過一系列的遞推公式可寫的前幾個系列，然後總結出來的前幾個法律猜數列的通項公式，最後用數學歸納法證明。
情況下，組序列{}是正項級數的，和（N +1）A2N +1-楠+一個+1 = 0（N = 1,2,3，...），那麼它的通項公式= ______________。 （2000年全國數學卷15題）
A2N +1-楠？解決方案：（N +1）+ +1組（n = 1,2,3，...）= 0分解因式（1 +）[（N +1 ）+1男] = 0。
> 0，所以（N +1）+1 =男，+1 = N /（N +1）。
因此，A2 = A1 =（1/2）（1/2）和a3 =（2/3）α2=（1/3），....猜猜=（1 / N），用數學歸納法，證明過程略。
？

2型「的方法」和「積商法典」
？（1）當列的遞推公式的數目可以減少到一個+1- =（n）時，採取中，n = 1,2,3，...，n-1的n-1個表達式：
？A2-A1 =（1），A3-a2的=（2），...，-1 =（n-1個），
？和F（1）+（2）+ ... +（n-1個），可以得到兩側積累的此方法的方法調用的總稱。
？例2數據列{}滿足a1 = 1，= 3N-1-1（N≥2），證明：（3N-1）/ 2。
（2003年全國藝術在數學卷19題）
？證明：從已知的一個-1 =為3n-1，
？=（--1）+（-1-2）+ ... +（A2-A1）+ A1 = 3N-1 +3N-2+ ... 3 1 =為3n-1/2。
？所以證明。
？（2）當的遞推公式的列數的1 / =（N），從而使中，n = 1,2,3，...，n-1個，n-1個方程，即
？A2/A1 =（1），A3/A2 =（2），A4/A3 =（3），...，一個?/-1=（正 - 1） 和f（1）F（2）F（3）兩側的乘法時，可製得一，F（n-1個），可以得到，這種方法被稱為「情節商業。
？例3（例1相同）（2000年全國數學第15卷。）
？另一種解決方案：（N +1）A2N +1-楠+一+1 = 0（= 1，2，3，...）簡化為（N +1）+1 =男，
？+1 / = N /（N +1）。 
？因此，an/an-1？ an-1/an-2？ an-2/an-3？ ... ？ A2/A1= N-1 / N？ n-2/n-1？ N-3 / N-2？ ... ？ 1/2= 1 / N。
？

類型三結構方法
？的遞推公式就是泛= QAN的1 + F（N）（P，Q是一個非零的常數），可用待定系數法來構造一個新的等比數列問題。
？例4（例2）（2003年全國藝術數學第19卷。）
？另一種解決方案：= 3N-1 + 1 3？ an/3n an-1/3n-1 +1。
？訂單BN = an/3n
？十億= 1/3bn-1 +1 / 3。 （*）
告訴BN + X = 1/3（BN-1 + x）的，則BN = 1/3bn-1 1/3倍的x，（*）相比，得到= -1 / 2，所以億-1/2 = 1/3（十億-1-1/2）。因此序列{億-1/2}的b1-1 = a1的/ 3 = -1 / 6，1/3的幾何級數的公比中，Bn-1/2的第一項= -1 / 6？ （1/3）正1，即an/3n-1/2 = -1 / 6（1/3）n-1個。因此，= 3N [1/2-1/6（1/3）的N-1] =為3n-1/2，
？例5序列{}中，a1 = 1，一個+1 = 4AN的+3 N +1，尋求一個。 
？解決方案：讓一個1 +（n +1）的x + y的= 4（+為nx + y）的，然後
？+1 = 4AN 3為nx 3 YX，相比於已知的1 4AN 3 = n +1的給
？
3倍= 3，所以
x = 1時，
1612-x = 1時，為y =（2/3）。
因此，數列{AN + N +（2/3）}是第一至A1 +1 +（2/3）=（8/3），一個共同的比率為4幾何號碼欄，因此，+ N + （2/3）=（8/3）？ 4n的1，即
？=（8/3）？ 4n的1 - 正 - （2/3）。
？另一種解決方案：n≥2時，由公知的是正確4AN-1 = 3（n-1個）1，用於差分與公知的關系，和一個+1 = 4（-的1）3，即+1 +1 = 4（--1 1），序列{+1的1}是第一A2-A1 +1 = 8-1 + 1 = 8，公比為4的等比數列，然後經由=（8/3）得到的方法，可以使用？ 4n的1 - 正 - （2/3）。
？

類型四可以轉化為
？類型III要求的總稱
？（1）「轉化為對數律
？III型。
？遞推公式，在An +1 = QAN?（q>的0，K≠0和k≠1，α1> 0），雙方採取的常用對數，得到lgan +1 = klgan + LGQ的ORDER lgan = BN，然後十億+1 = KBN + LGQ，轉化為
？III型。
實施例6？已知數量的列{}中，a1 = 2，一個1 = AN2尋求。
？解決方案：，一個+1 = AN2> 0時，雙方數lgan +1 = 2lgan。因此在BN = lgan億+1 = 20億美元。序列{億} B1 = lga1 = LG2，公比的等比數列，BN = 2N-1lg2 = lg22n-1 = 22N-1。
？（2）到「互惠法」
？III型。
？的遞推公式的形式：供應商在An +1 =（PAN + b的）/（QAN + c的）（≠0 PQ≠0時，PC≠QB）。
？如果b = 0，得到的1 =搖攝/（QAN + c的）。因為≠0，所以雙方採取相應獲得1/an +1 = Q / P + C / PAN，BN = 1/an，BN +1 =（C / P）BN + Q / P，轉化為
？III型。
？如果b≠0時，1 + X = Y（+）/ QAN + C相比，與公知的遞推公式，得到由x，y，令BN = +的x，BN 1 = YBN / QAN + c的，被變換的b = 0的情況下。
？已知序列{an}的實施例7中的A1 = 2，1 =（3AN 1）/（3）實現的。
？解決方案：讓一個1 + x = y時（AN +）/ 3，然後在An +1 =（YX）+（γ-3）X / 3，在結合已知得到的遞推公式
？
Y-X = 3，所以
x = 1時，
γ-3 = 1時，y = 4，
有+1 +1 = 4（1）/ 3，BN = AN +1，BN 1 = 4bn/bn 2倒數已獲得1/bn 1 = 1/2嗎？ 1/bn 1/4，即1/bn +1-1/2 = 1/2（1/bn-1/2）。
？系列{1/bn-1/2}首先1/b1-1/2 = 1/a1 +1-1/2 = -1 / 6，與一個共同的比為1/2的等比數列。
？，因此1/bn-1/2 =（-1 / 6）（1/2）n-1個，可以得到AN。
？

類型五遞推公式+1 / QN / N = +-K（Q≠0，K∈N）
？1可以是第一個方程（+ K）一個= QNAN雙方乘以相同的第（n + k-1個）（n + k個-2）...第（n +1），得到（+ K）（n + k個-1）（n + k個-2）...第（n +1）+1 = q（下n + k個-1）（n + k個-2）... （N +1）男，訂單BN =（N + K-1）（N + K-2）... （n +1）的嗎？男，然後十億+1 =（N + K）（N + K-1）（N + K-2）...第（n +1）1。
？所以，BN +1 = QBN，所以序列{億}是公比q和B1 = K（K-1）（K-2）的第一項... 2？ 1？ A1 = K！ A1等比數列，從而可以得到一個。
？例8（例1相同）（2000年全國數學第15卷。）
？另一種解決方案：A2N +1- na2n（N +1）+一+1 = 0（N = 1，2，3，...），簡化為（N +1）+1 =男，南億億+1 = BN，所以序列{億}是一個常數列，B1 = 1？ A1 = 1，BN = 1，即男= 1，並且因此，= 1 / n的。
總之，通過一系列的遞推公式和通項公式是更復雜的，不可能解決，但只要我們抓住遞推數列遞推關系，分析的結構特點，善於合理變形，將能夠？找到一個解決辦法的問題的有效途徑。

❹ 急求數列中 累差求和、累商求積、錯位相減等求和方法

公式法、累加法、累乘法、待定系數法、對數變換法、迭代法、數學歸納法、換元法、不動點法、特徵根的方法等等。

類型一
歸納—猜想—證明
由數列的遞推公式可寫出數列的前幾項，再由前幾項總結出規律，猜想出數列的一個通項公式，最後用數學歸納法證明．

類型二
「逐差法」和「積商法」
(1)當數列的遞推公式可以化為an+1-an=f(n)時，取n=1,2,3,…,n-1，得n-1個式子：
a2-a1=f(1),a3-a2=f(2),…,an-an-1=f(n-1)，
且f(1)+f(2)+…+f(n-1)可求得時，兩邊累加得通項an，此法稱為「逐差法」．
(2)當數列的遞推公式可以化為an+1/an=f(n)時，令n=1,2,3,…,n-1,得n-1個式子，即
a2/a1=f(1),a3/a2=f(2),a4/a3=f(3),…,an/an-1=f(n－1)，且f(1)f(2)f(3)…f(n-1)可求得時，兩邊連乘可求出an，此法稱為「積商法」．

類型三
構造法
遞推式是pan=qan-1+f(n)(p、q是不為零的常數)，可用待定系數法構造一個新的等比數列求解．

類型四
可轉化為類型三求通項
(1)「對數法」轉化為類型三．
遞推式為an+1=qan

❺ 遞推公式，數學

公式法、累加法、累乘法、待定系數法、對數變換法、迭代法、數學歸納法、換元法、不動點法、特徵根的方法等等。

類型一

歸納—猜想—證明

由數列的遞推公式可寫出數列的前幾項，再由前幾項總結出規律，猜想出數列的一個通項公式，最後用數學歸納法證明。

類型二

「逐差法」和「積商法」

1、當數列的遞推公式可以化為an+1-an=f(n)時，取n=1,2,3,…,n-1，得n-1個式子：

a2-a1=f(1),a3-a2=f(2),…,an-an-1=f(n-1)；

且f(1)+f(2)+…+f(n-1)可求得時，兩邊累加得通項an，此法稱為「逐差法」。

2、當數列的遞推公式可以化為an+1/an=f(n)時，令n=1,2,3,…,n-1,得n-1個式子，即

a2/a1=f(1),a3/a2=f(2),a4/a3=f(3),…,an/an-1=f(n－1)，且f(1)f(2)f(3)…f(n-1)可求得時，兩邊連乘可求出an，此法稱為「積商法」。

(5)積商法擴展閱讀

類型三

構造法

遞推式是pan=qan-1+f(n)(p、q是不為零的常數)，可用待定系數法構造一個新的等比數列求解。

類型四

可轉化為類型三求通項

1、「對數法」轉化為類型三。

遞推式為an+1=qank(q＞0,k≠0且k≠1,a1＞0)，兩邊取常用對數，得lgan+1=klgan+lgq，令lgan=bn，則有bn+1=kbn+lgq，轉化為類型三。

2、「倒數法」轉化為類型三。

遞推式為商的形式：an+1=(pan+b)/(qan+c)(an≠0，pq≠0,pc≠qb)。

若b=0，得an+1=pan/(qan+c)．因為an≠0，所以兩邊取倒數得1/an+1=q/p+c/pan,令bn=1/an,則bn+1=(c/p)bn+q/p，轉化為類型三。

若b≠0，設an+1+x=y(an+x)/qan+c，與已知遞推式比較求得x、y，令bn=an+x，得bn+1=ybn/qan+c，轉化為b=0的情況。

❻ 高一所有的等差 等比數列的通項公式

公式法、累加法、累乘法、待定系數法、對數變換法、迭代法、數學歸納法、換元法、不動點法、特徵根的方法等等。類型一歸納—猜想—證明由數列的遞推公式可寫出數列的前幾項，再由前幾項總結出規律，猜想出數列的一個通項公式，最後用數學歸納法證明．類型二「逐差法」和「積商法」(1)當數列的遞推公式可以化為an+1-an=f(n)時，取n=1,2,3,…,n-1，得n-1個式子：a2-a1=f(1),a3-a2=f(2),…,an-an-1=f(n-1)，且f(1)+f(2)+…+f(n-1)可求得時，兩邊累加得通項an，此法稱為「逐差法」．(2)當數列的遞推公式可以化為an+1/an=f(n)時，令n=1,2,3,…,n-1,得n-1個式子，即a2/a1=f(1),a3/a2=f(2),a4/a3=f(3),…,an/an-1=f(n－1)，且f(1)f(2)f(3)…f(n-1)可求得時，兩邊連乘可求出an，此法稱為「積商法」．類型三構造法遞推式是pan=qan-1+f(n)(p、q是不為零的常數)，可用待定系數法構造一個新的等比數列求解．類型四可轉化為類型三求通項(1)「對數法」轉化為類型三．遞推式為an+1=qan?k(q＞0,k≠0且k≠1,a1＞0)，兩邊取常用對數，得lgan+1=klgan+lgq，令lgan=bn，則有bn+1=kbn+lgq，轉化為類型三．(2)「倒數法」轉化為類型三．遞推式為商的形式：an+1=(pan+b)/(qan+c)(an≠0，pq≠0,pc≠qb)．若b=0，得an+1=pan/(qan+c)．因為an≠0，所以兩邊取倒數得1/an+1=q/p+c/pan,令bn=1/an,則bn+1=(c/p)bn+q/p，轉化為類型三．若b≠0，設an+1+x=y(an+x)/qan+c，與已知遞推式比較求得x、y，令bn=an+x，得bn+1=ybn/qan+c，轉化為b=0的情況．類型五遞推式為an+1/an=qn/n+k(q≠0,k∈N)可先將等式(n+k)an+1=qnan兩邊同乘以(n+k-1)(n+k-2)…(n+1)，得(n+k)(n+k-1)(n+k-2)…(n+1)an+1=q(n+k-1)(n+k-2)…(n+1)nan，令bn=(n+k-1)(n+k-2)…(n+1)??nan,則bn+1=(n+k)(n+k-1)(n+k-2)…(n+1)an+1．從而bn+1=qbn，因此數列｛bn｝是公比為q，首項為b1=k(k-1)(k-2)…2??1??a1=k!a1的等比數列，進而可求得an．總之，由數列的遞推公式求通項公式的問題比較復雜，不可能一一論及，但只要我們抓住遞推數列的遞推關系，分析結構特徵，善於合理變形，就能找到解決問題的有效途徑．類型一?歸納—猜想—證明由數列的遞推公式可寫出數列的前幾項，再由前幾項總結出規律，猜想出數列的一個通項公式，最後用數學歸納法證明．?例1?設數列｛an｝是首項為1的正項數列，且(n+1)a2n+1-nan2+an+1an=0(n=1,2,3,…)，則它的通項公式是an=______________．(2000年全國數學卷第15題)解：將(n+1)a2n+1-nan2+an+1an=0(n=1,2,3,…)分解因式得(an+1+an)〔(n+1)an+1-nan〕=0．??由於an＞0，故(n+1)an+1=nan，即an+1=n/(n+1)an．??因此a2=(1/2)a1=(1/2)，a3=(2/3)a2=(1/3),…．猜想an=(1/n),可由數學歸納法證明之，證明過程略．類型二?「逐差法」和「積商法」(1)當數列的遞推公式可以化為an+1-an=f(n)時，取n=1,2,3,…,n-1，得n-1個式子：a2-a1=f(1),a3-a2=f(2),…,an-an-1=f(n-1)，且f(1)+f(2)+…+f(n-1)可求得時，兩邊累加得通項an，此法稱為「逐差法」．例2?已知數列｛an｝滿足a1=1,an=3n-1+an-1(n≥2),證明：an=(3n-1)/2．(2003年全國數學卷文科第19題)證明：由已知得an-an-1=3n-1，故an=(an-an-1)+(an-1－an-2)+…+(a2-a1)+a1=3n-1+3??n-2?+…+3+1=3n-1/2．所以得證．(2)當數列的遞推公式可以化為an+1/an=f(n)時，令n=1,2,3,…,n-1,得n-1個式子，即a2/a1=f(1),a3/a2=f(2),a4/a3=f(3),…,a??n?/an-1?=f(n－1)?，?且f(1)f(2)f(3)…f(n-1)可求得時，兩邊連乘可求出an，此法稱為「積商法」．例3?(同例1)(2000年全國數學卷第15題)另解：將(n+1)a2n+1-nan2＋an+1an=0(n?=1,2,3,…)化簡，得(n+1)an+1=nan，即an+1/an=n/(n+1)．?故an=an/an-1??an-1/an-2??an-2/an-3??…??a2/a1?=n-1/n??n-2/n-1??n-3/n-2??…??1/2?=1/n．類型三?構造法遞推式是pan=qan-1+f(n)(p、q是不為零的常數)，可用待定系數法構造一個新的等比數列求解．例4?(同例2)(2003年全國數學卷文科第19題)另解：由an=3n-1+an-1得3??an/3n=an-1/3n-1+1．令bn＝an/3n，則有bn=1/3bn-1+1/3．(*)設bn+x=1/3(bn-1+x)，則bn=1/3bn-1+1/3x-x，與(*)式比較，得x=-1/2，所以bn-1/2=1/3(bn-1-1/2)．因此數列｛bn-1/2｝是首項為b1-1=a1/3=-1/6，公比為1/3的等比數列，所以bn-1/2=-1/6??(1/3)n-1，即an/3n-1/2=-1/6(1/3)n-1．故an=3n〔1/2-1/6(1/3)n-1〕=3n-1/2．例5?數列｛an｝中，a1=1,an+1=4an+3n+1，求an．?解：令an+1+(n+1)x+y=4(an+nx+y)，則an+1=4an+3nx+3y-x,與已知an+1=4an+3n+1比較，得3x=3，所以x=1,3y-x=1，y=(2/3)．故數列｛an+n+(2/3)｝是首項為a1+1+(2/3)=(8/3)，公比為4的等比數列，因此an+n+(2/3)=(8/3)??4n-1,即an=(8/3)??4n-1-n-(2/3)．另解：由已知可得當n≥2時，an=4an-1+3(n-1)+1，與已知關系式作差，有an+1-an=4(an-an-1)+3，即an+1-an+1=4(an-an-1+1)，因此數列｛an+1-an+1｝是首項為a2-a1+1=8-1+1=8，公比為4的等比數列，然後可用「逐差法」求得其通項an=(8/3)??4n-1-n-(2/3)．類型四?可轉化為類型三求通項(1)「對數法」轉化為類型三．遞推式為an+1=qan?k(q＞0,k≠0且k≠1,a1＞0)，兩邊取常用對數，得lgan+1=klgan+lgq，令lgan=bn，則有bn+1=kbn+lgq，轉化為類型三．例6?已知數列｛an｝中，a1=2,an+1=an2，求an．解：由an+1=an2＞0，兩邊取對數得lgan+1=2lgan．令bn=lgan則bn+1=2bn．因此數列｛bn｝是首項為b1=lga1=lg2，公比為2的等比數列，故bn=2n-1lg2=lg22n-1，即an=22n-1．(2)「倒數法」轉化為類型三．遞推式為商的形式：an+1=(pan+b)/(qan+c)(an≠0，pq≠0,pc≠qb)．若b=0，得an+1=pan/(qan+c)．因為an≠0，所以兩邊取倒數得1/an+1=q/p+c/pan,令bn=1/an,則bn+1=(c/p)bn+q/p，轉化為類型三．若b≠0，設an+1+x=y(an+x)/qan+c，與已知遞推式比較求得x、y，令bn=an+x，得bn+1=ybn/qan+c，轉化為b=0的情況．例7?在數列｛an｝中，已知a1=2,an+1=(3an+1)/(an+3)，求通項an．解：設an+1+x=y(an+x)/an+3，則an+1=(y-x)an+(y-3)x/an+3，結合已知遞推式得y-x=3,所以x=1,y-3=1，y=4，則有an+1+1=4(an+1)/an+3，令bn=an+1，則bn+1=4bn/bn+2，求倒數得1/bn+1=1/2??1/bn+1/4，即1/bn+1-1/2=1/2(1/bn-1/2)．因此數列｛1/bn-1/2｝是首項為1/b1-1/2=1/a1+1-1/2=-1/6，公比為1/2的等比數列．故1/bn-1/2=(-1/6)(1/2)n-1，從而可求得an．數列的遞推式求數列的通項公式1、形如an+1=pan+q的遞推式：當p=1時數列為等差數列；當q=0,p≠0時數列為等比數列；當p≠1,p≠0,q≠0時，令an+1－t=p(an－t),整理得an+1=pan+(1－p)t,由an+1=pan+q，有(1－p)t=q∴t=q/(1－p),從而an+1－q/(1－p)=p〔an－q/(1－p)〕,∴數列﹛an－q/(1－p)﹜是首項為a1－q/(1－p)，公比為q的等比數列。故an=〔a1－q/(1－p)〕pn－1+q/(1－p)2、形如an+1=pan+f(n)的遞推式：將上式兩邊同除以pn+1,得an+1/pn+1=an/pn+f(n)/pn+1,令bn=an/pn,則bn+1=bn+f(n)/pn+1，由此可求出bn，從而求出an3、形如an+1=pan+qan－1（n≥2）的遞推式：1°若p+q=1時，p=1－q,則an+1=(1－q)an+qan－1,即an+1－an=(an－an－1)(-q)，知﹛an－an－1﹜為等比數列，公比為-q，首項為a2－a1，從而an+1－an=(a2－a1)(-q)n－1，用疊加法就可求出an2°若p+q≠1時，存在x1、x2滿足an+1－x1an=x2(an－x1an－1)，整理得an+1=（x1+x2）an+x1x2an－1，有x1+x2=p，-x1x2=q，把x1、x2看做一元二次方程x2－px－q=0的兩個根，容易求出x1、x2，從而數列﹛an+1－x1an﹜是等比數列，可得an+1－x1an=x2n－1(a2－x1a1)①或an+1－x2an=x1n－1(an－x1an－1)②，當x1≠x2時，由①②聯立可解得an；當x1=x2時，轉化成以上類型的遞推式，可求出an

❼ 遞推公式的函數定義是什麼

f(x)=f(f(x-1))=f(f(f(x-2)))=記為f^n(1),其實理解一下，就是函數的迭代，比如f(x)=X^2 f(f(x))=x^4

❽ 求數列前N項和的方法有哪些要例子！

公式法、累加法、累乘法、待定系數法、對數變換法、迭代法、數學歸納法、換元法、不動點法、特徵根的方法等等。

類型一
歸納—猜想—證明
由數列的遞推公式可寫出數列的前幾項，再由前幾項總結出規律，猜想出數列的一個通項公式，最後用數學歸納法證明．

類型二
「逐差法」和「積商法」
(1)當數列的遞推公式可以化為an+1-an=f(n)時，取n=1,2,3,…,n-1，得n-1個式子：
a2-a1=f(1),a3-a2=f(2),…,an-an-1=f(n-1)，
且f(1)+f(2)+…+f(n-1)可求得時，兩邊累加得通項an，此法稱為「逐差法」．
(2)當數列的遞推公式可以化為an+1/an=f(n)時，令n=1,2,3,…,n-1,得n-1個式子，即
a2/a1=f(1),a3/a2=f(2),a4/a3=f(3),…,an/an-1=f(n－1)，且f(1)f(2)f(3)…f(n-1)可求得時，兩邊連乘可求出an，此法稱為「積商法」．

類型三
構造法
遞推式是pan=qan-1+f(n)(p、q是不為零的常數)，可用待定系數法構造一個新的等比數列求解．

類型四
可轉化為類型三求通項
(1)「對數法」轉化為類型三．
遞推式為an+1=qan